Аннотация:
Конечная линейная комбинация функций вида $e^{\lambda(z)}$, где
$\lambda$ – линейный функционал в $C^n$, называется экспоненциальной
суммой (для краткости э-сумма). Э-суммы образуют кольцо.
Э-многообразие – это множество совместных нулей конечной системы
э-сумм. Или нулевое множество конечно порожденного идеала в кольце
э-сумм (это кольцо не Нетерово). Остается ли что-нибудь
алгебро-геометрическое при переходе от кольца полиномов к кольцу
э-сумм? Этому вопросу больше 100 лет. Первая теорема доказана Дж.
Риттом в 1929: если все нули э-суммы $f$ являются также нулями
э-суммы $g$, то $g$ делится на $f$ в кольце э-сумм. Ритт рассматривал
э-суммы от одного переменного. Многомерное утверждение доказано в
1975. Новые результаты начали появляться относительно недавно. Я
расскажу про алгебраическое определение размерности э-многообразия
(примерно 2000 г). Алгебраическая размерность, как правило равна
геометрической, но иногда бывает меньше. Например, для уравнений
$e^z-1=e^{\pi z}-1=0$ в $C^1$ с нулевым множеством $z=0$,
алгебраическая размерность равна $-1$, т.е. алгебраическая размерность
бывает отрицательной. В вопросе о несовпадении размерностей возникает
некоторая содержательная и интересная математика.
|
