От многогранника к развертке и обратно

Будут обсуждены две известные, нерешенные проблемы в теории многогранников.
Одна из них, т.н. проблема Дюрера о существовании у всякого выпуклого многогранника реберной связной развертки. Здесь имеется ряд результатов и предположений. В частности, будет сформулирована "Анти-Дюрер" гипотеза.
Другая проблема связана со знаменитой теоремой А. Д. Александрова о необходимых и достаточных условиях того, чтобы данная развертка была разверткой выпуклого многогранника, причем единственного с точностью до конгруэнтности. Проблема состоит в том, как по заданной развертке восстановить этот многогранник. Это очень трудная, по мнению самого А. Д. Александрова, проблема. В докладе будет рассказано о том, как восстановить многогранник по развертке, у которой не больше 5 вершин положительной кривизны. Этот результат получен совместно с М. И. Штогриным.