Слабо компактные и компактные по Дойчу множества в теории приближений. Приложения к экспоненциальным суммам

Изучены свойства аппроксимативной компактности в задачах min- и max-аппроксимации, получены характеризационные результаты в терминах естественно возникающих на этом пути пространств классов CLUR, Дэя–Ошмана, Андерсона–Меггинсона, CMLUR и AT. Дано описание пространств с max-аппроксимативно компактным единичным шаром, получена теорема о характеризации пространств с аппроксимативно компактным единичным шаром, получены результаты о min- и max-аппроксимативной компактности для солнц и max-солнц. Помимо прочего, получено полное решение следующих важных задач min- и max-аппроксимации теории приближений:
(1) характеризация пространств, в которых замкнутая окрестность любого выпуклого множества существования аппроксимативно слабо компактна;
(2) характеризация пространств, в которых замкнутая окрестность любого выпуклого множества существования является аппроксимативно слабо компактным чебышёвским множеством;
(3) характеризация пространств, в которых замкнутая окрестность любого аппроксимативно слабо компактного множества является аппроксимативно слабо компактным множеством;
(4) характеризация пространств, в которых классы сильно и слабо аппроксимативно компактных множеств совпадают;
(5) характеризация пространств, в которых классы слабо и сильно max-аппроксимативно компактных множеств совпадают;
(6) характеризация пространств, в которых любое солнце (max-солнце) аппроксимативно слабо компактно (соответственно, max-аппроксимативно слабо компактно);
(7) характеризация пространств таких, что любая точка пространства за исключением нуля, является точкой max-аппроксимативной слабой компактности единичного шара.
Доказана монотонная линейная связность и связность по Менгеру различных классов экспоненциальных сумм. Показано, что множество расширенных экспоненциальных сумм является солнцем в $C[a,b]$