Аннотация:
Ветвящиеся случайные блуждания (ВСБ) — один из разделов теории стохастических процессов, в котором изучается поведение систем, элементы которых могут размножаться, гибнуть и перемещаться по пространству. Фундаментальная основа аналитических методов исследования стохастических процессов во многом заложена основателем кафедры теории вероятностей А.Н.Колмогоровым. К современным направлениям исследования ВСБ можно отнести изучение пространственной структуры ВСБ с непрерывным временем и лежащих в их основе случайных блужданий по многомерной решетке: с различной пространственной динамикой (Рытова и Яровая, 2016г.); в неоднородных (Яровая, 2007г.) и однородных (Макарова с соавт., 2022г.) "ветвящихся" средах; в случайных средах (Молчанов, 1994г.); при фиксированных пространственных переменных; при совместном росте пространственных координат и времени (Молчанов и Яровая, 2012г.). Для изучения предельного по времени поведения ВСБ применяются спектральные (Яровая, 2024г.) и мартингальные методы (Смородина и Яровая, 2023г.). Одним из основоположников этого направления в стохастическом анализе является зав.кафедрой А.Н. Ширяев (см. монографию "Броуновское движение и винеровская мера", 2025г.). В докладе особое внимание уделено "точно решаемым" моделям ВСБ, в котором случайное блуждание задается разностным лапласианом. Такая модель имеет многочисленные применения в статистической физике (Зельдович с соавторами, 1988г.), а ее исследование до сих пор остается актуальным. Для ВСБ с одним источником ветвления частиц при различных предположениях о структуре поглощающей среды, в частности, когда гибель частиц возможна в каждой точке решетки, получено условие, гарантирующее экспоненциальный рост численностей частиц (Филичкина и Яровая, 2023г.). На основе этих результатов доказаны новые предельные теоремы.
|
