Единственность разложения в системах счисления и функциональные уравнения со сжатием аргумента

Доклад будет посвящен вопросу о единственности разложения числа в системе счисления с нестандартным набором цифр. В первой части доклада будет рассказано о том, как данный вопрос возникает в нескольких достаточно разных областях математики. С одной стороны, он оказался связан с работами Эрдёша, Кларнера и Радо 1970-х годов по арифметической комбинаторике, возникших в связи с решением проблемы Эйлера о греко-латинских квадратах. С другой стороны, он появился естественным образом в теории кодирования в 1980-е годы при изучении так называемых унарных L-кодов. Третьей связанной темой оказывается одна известная алгоритмическая проблема для группы целочисленных матриц, а именно порождения свободной подгруппы, для которой неразрешимость была доказана в 1991 году для размерности n≥3, но с того времени остаётся неизвестной для n=2. Кроме того, будет обсуждена структура множества чисел, представимых для заданного набора цифр. Во второй части доклада будет рассказано о критерии, позволяющем решить вопрос о единственности в том случае, когда количество цифр в системе счисления равно её основанию, а среди цифр есть ноль. Оказывается, что весьма важную роль при этом играет то, является ли основание простым числом. Доказательство критерия основано на решении определённых масштабирующих уравнений, о чём будет рассказано во втором докладе 28 ноября.