Аннотация:
Пусть $\boldsymbol\eta=(\eta_1,\eta_2,\dotsc)$ – последовательность н.о.р. величин, которую мы будем называть случайной средой, $\{Y_n\}$ – марковская последовательность c целыми неотрицательными значениями, обладающая тремя свойствами:
- при фиксации $\boldsymbol\eta$ последовательность $\{Y_n\}$ является неоднородной цепью Маркова;
- имеется представление
$$
Y_{n+1} = A_{n+1} Y_n + B_{n+1},
$$
где $A_i = g_1(\eta_i)$ – неотрицательная функция среды, $(Y_0, B_1, B_2, \dotsc, B_i)$ не зависит от $(A_{i+1},A_{i+2},\dotsc)$;
- для некоторых $0<h^*<h$ выполнено условие пренебрежимой малости $\{B_i\}$:
\begin{equation}
\label{Small}
{\mathbf E}\left(\left.|B_{i+1}|^h\right|Y_i, \boldsymbol\eta\right)\le \zeta_{i+1} A_{i+1} Y_i^{h^*},\ i\ge 0,
\end{equation}
где $\zeta_{i}=g_2(\eta_{i})$, $i\ge 0$, удовлетворяет определенным моментным ограничениям.
Такую последовательность мы будем называть марковской линейной рекуррентной последовательностью в случайной среде $\boldsymbol\eta$ (МРПСС). Мы будем считать, что ноль – поглощающее состояние, все остальные несущественные, но цепь, ограниченная на натуральные числа, является неразложимой и непериодической.
Примером такой последовательности является ветвящийся процесс в случайной среде (ВПСС) $\{Z_n\}$, где
$$
A_{n} = e^{\xi_{n}},\quad B_n = \sum_{i=1}^{Z_{n-1}} (X_{n,i} - e^{\xi_n}).
$$
Здесь $X_{n,i}$ – число потомков $i$-й частицы $(n-1)$-го поколения, а $\xi$ – шаг сопровождающего блуждания. Условие (\ref{Small}) при этом обеспечивается неравенствами для функции от сумм величин с нулевым средним типа Зигмунда-Марцинкевича.
В качестве других последовательностей, к которым можно применить такого рода подход, можно назвать, например,
- ветвящиеся процессы в случайной среде с частицами двух полов (ДВПСС);
- максимальные ветвящиеся процессы с ф.р. числа потомков одной частицы вида $F(x) = 1- c/x + O(x^{-1-\delta})$, $x\to\infty$ при некотором $\delta>0$;
- максимальные ветвящиеся процессы в случайной среде с ф.р. числа потомков одной частицы при условии среды вида $F_{X|\eta}(x|y) = 1- c_y/x + r(x,y)/x^{1+\delta}$, $x\to\infty$ при некотором $\delta>0$ не зависящем от $y$ (и некоторых дополнительных условиях на $r(x,y)$).
К процессам можно добавлять иммиграцию, что, при определенных ограничениях, сохранит полученные результаты.
В настоящей работе рассматривается задача о позднем вырождении: исследование предельного поведения величин
$$
{\mathbf P}(n<T<\infty),\ {\mathbf P}(Y_n=k|n<T<\infty)
$$
при $n\to\infty$, где $T$ – время до поглощения цепи. Два основных интересных нам случая здесь соответствуют надкритическому процессу (${\mathbf E}\ln A_1>0$) и докритическому процессу (${\mathbf E}\ln A_1<0$).
Удается показать, что в определенных зонах (по аналогии с ВПСС их естественно называть строго надкритическим и строго докритическим процессами) выполнено соотношение
$$
{\mathbf P}(n<T<\infty)\sim C \rho^n,\quad {\mathbf P}(Y_n=k|n<T<\infty)\to p_k^*,
$$
где $C$ – некоторая константа, $\rho\in (0,1]$ – некоторый структурный параметр процесса, $p_k^*$ – некоторое вероятностное распределение. К сожалению, описание структурного параметра $\rho$ удается получить лишь в неявной форме (в том числе для строго надкритических ВПСС).
В докладе будет изложена общая теория $R$-положительных марковских цепей, результаты будут применены к МРПСС, а также будут рассмотрены частные случаи ВПСС, ДВПСС, ВПСС с иммиграцией.
|
