Аннотация:
Рассмотрим конус $\langle Ax,x \rangle=0$ в $\mathbb R^d$, где целочисленная матрица $A$ невырождена. Как ведет себя число $N_L$ точек $x, |x| < 1$, лежащих на пересечении конуса с решеткой $\mathbb Z^d / (L \mathbb Z^d)$ большой частоты $L$, когда $L$ растет?
Кроме естественного интереса для теории чисел, этот и связанный с ним вопросы играют все большую роль при анализе сложных нелинейных систем с резонансами. В частности, ответы на них ключевым образом используются в ряде работ по теории волновой турбулентности, а также применяются в КАМ теории для уравнений с частными производными.
В работе Хис-Брауна 1996 года показано, что $N_L \sim L^{d-2}$ при $d\ge 5$, в нашей совместной работе 2023 года с С. Влэдуцем, С. Куксиным и А. Майокки результат Хис-Брауна был уточнен, а недавно я научился объяснять "на пальцах" как можно "поверить" в эту асимптотику. С этого я и начну, а затем покажу основные шаги (удивительно трудного для не специалиста по теории чисел) строгого доказательства, основанного на круговом методе.
|
