Аннотация:
В теории интегрируемых систем одной из фундаментальных задач
является построение полного набора первых интегралов в инволюции для
гамильтоновой динамической системы. На алгебраическом языке задача
состоит в построении коммутативной подалгебры максимальной степени
трансцендентности в данной алгебре Пуассона. Одним из методов построения
коммутативных пуассоновых подалгебр в симметрической алгебре $S(\mathfrak g)$
полупростой алгебры Ли $\mathfrak g$ является схема Ленарда-Магри, основанная на
включении скобки Пуассона-Ли на $S(\mathfrak g)$ в пучок согласованных скобок
Пуассона. В эту схему, в частности, укладывается известный метод сдвига
аргумента Мищенко-Фоменко. В случае, когда все скобки Пуассона в пучке
линейны, т.е. происходят из пучка согласованных скобок Ли на $\mathfrak g$, схема
Ленарда-Магри приводит к коммутативной пуассоновой подалгебре
максимальной степени трансцендентности тогда и только тогда, когда все
значения параметра в пучке регулярны, т.е. индексы алгебр Ли, отвечающих
разным значениям параметра, совпадают.
В 2021 году Панюшев и Якимова предложили реализацию схемы Ленарда-Магри,
основанную на 2-разложении алгебры Ли $\mathfrak g$, т.е. разложении $\mathfrak{g = f \oplus h}$ в
прямую сумму двух подалгебр Ли. Возможные сингулярные значения параметра
отвечают так называемым сжатиям Инёню-Вигнера алгебры Ли $\mathfrak g$ вдоль
подалгебр $\mathfrak f$ и $\mathfrak h$, при которых скобка Ли на подалгебре сохраняется, а
дополнительное подпространство превращается в абелев идеал. Мы получим
формулу для индекса сжатия Инёню-Вигнера полупростой алгебры Ли $\mathfrak g$ вдоль
подалгебры $\mathfrak h$ в терминах сложности однородного многообразия $G/H$ (для
квазиаффинного $G/H$ это результат Панюшева-Якимовой). В качестве
следствия мы покажем, что коммутативная подалгебра Пуассона, построенная
по схеме Ленарда-Магри, имеет максимальную степень трансцендентности
тогда и только тогда, когда подалгебры $\mathfrak f$ и $\mathfrak h$ являются сферическими.
|
