Аннотация:
Э. Б. Винберг разработал теорию однородных выпуклых конусов, имеющую множество
приложений. Он дал конструкцию таких конусов в терминах
неассоциативных матричных T-алгебр ранга $n$, состоящих из векторнозначных матриц, элементы которых
принадлежат евклидовым векторным пространствам $V_{ij}$. Умножение в T-алгебре
определяется системой изометрических отображений, удовлетворяющей некоторым
аксиомам. T-алгебра определяется своей ассоциативной подалгеброй
верхнетреугольных матриц, или ниладикалом, называемым ниль-алгеброй. Связная группа Ли $G$
верхнетреугольных (невырожденных) матриц действует в векторном пространстве
Herm$_n$ эрмитовых матриц порядка $n$, а орбита единичной матрицы
является выпуклым конусом с просто транзитивным действием G. Обратно, любой однородный выпуклый
конус получается этой конструкцией. В работе (А-Кортес-21) был описан и изучен
класс однородных выпуклых конусов р 3 , задаваемых клиффордовыми модулями.
Он имеет приложения к супергравитации. В частности, в работе (A- Marrani- Spiro)
он был применен к вычислению энтропии BPS черных дыр в $N=2$ $D=4$ супергравитации.
Обобщая понятие T-алгебры Клиффорда ранга 3, мы определяем понятия специальной
T-алгебры ранга $n$ и ниль-алгебры Клиффорда, которая определяет специальный конус
Винберга. Мы сопоставляем ниль-алгебре Клиффорда направленный ациклический граф
диаметра 1 и показываем, что ниль-алгебры Клиффорда с заданным графом взаимно
однозначно соответствуют своим допустимым оснащениям. Это даёт эффективный метод
классификации ниль-алгебр Клиффорда и связанных с ними специальных конусов
Винберга. Мы применяем этот подход для явной классификации специальных конусов
Винберга ранга 4 в терминах допустимых оснащений графов.
|
