Жесткость полиномов с вещественными критическими точками

Пусть $P$ – вещественный полином степени не меньшей двух с вещественными критическими точками, и пусть $\zeta$ – наибольшая критическая точка этого полинома. Показывается, что при условии $P''(\zeta) > 0$ ангармоническое отношение любых четырех точек $z_k$, $k = \overline{1,4},$ $\zeta \leq z_1 < z_2 < z_3 < z_4 \leq \infty,$ не уменьшается при отображении положительной ветвью корня $\sqrt{P(z) - P(\zeta)}$. Отсюда вытекает, в частности, что если в крайней критической точке $\zeta$ вещественного полинома $P$ с вещественными критическими точками выполняется $P''(\zeta) \not= 0$, $P'''(\zeta) = 0$, то $ P(z) = P(\zeta) + c(z - \zeta)^2, $ где $c$ – вещественная постоянная, отличная от нуля.