Аннотация:
Для бесконечномерных топологических векторных пространств (ТВП) $X$
над полями $Q_p$ гензелевых ($р$-адических) чисел
естественным образом формулируется введенное С.Акбаровым
понятие “стереотипного сопряженного” или "двойственного по Понтрягину"
к $Х$ пространства $Х^*$ —
пространства линейных непрерывных функционалов
со сходимостью на компактах исходного пространства $Х$.
В отличие от случая вещественного или комплексного поля,
не каждое банахово над $Q_p$ пространство X оказывается стереотипно-рефлексивным
даже в смысле запаса элементов второго сопряженного
(= в смысле сюръективности канонического вложения $J_X$
пространства Х во второе сопряженное $X^{**}$):
приводится (контр-)пример (последовательностей с суммируемыми квадратами норм).
Однако, пространство с_0 стремящихся к нулю последовательностей
с равномерной (ультра-) нормой является алгебраически и топологически рефлексивным в этом смысле.
Двойственное по Понтрягину к $с_0$ ТВП $m={(с_0)}^*$,
как и в вещественном случае, состоит из ограниченных последовательностей и не нормируемо.
На $Х=с_0$ и $Х^*=m$ вводятся трансляционно-инвариантные обобщенные меры ($Н$ и $Н^*$ соответственно)
типа Хаара (Смолянова–Лебега) по схеме Сакбаева–Римана,
несмотря на отсутствие свойства локальной компактности.
На $X$ и $X^*$ вводятся аналоги пространств Шварца $S(X)$ и $S(X^*)$ соответственно,
состоящие из комплекснозначных пробных функций и обладающие свойствами
трансляционной и, в некотором расширенном смысле, Фурье-инвариантностью.
Такие пробные функции $f$ оказываются каноническими плотностями соответствующих цилиндрических мер $f.Н$ или $f.H^*$,
где точка между интегрируемой функцией и мерой является обобщением обычного лебегова умножения плотности.
Кроме того, такие $f$ квадратично-суммируемы относительно $Н$ или $H^*$ соответственно,
и среди них выбирается счётный Фурье-собственный (в том же расширенном смысле, что и выше)
ортонормированный базис. Соответственно, преобразования Фурье продолжаются
по $L_2$-непрерывности до унитарных изометрий
между $L_2(Н)$- и $L_2(Н^*)$-замыканиями пространств $S(X)$ и $S(X^*)$ соответственно,
а относительно более слабых топологий — также и до преобразований обобщенных мер и функций на $X$ и на $X^*$.
|
