Модальная логика топологических пространств и битопологическое произведение

Хорошо известно, что логика высказываний полна относительно булевых алгебр, а любая булева алгебра вкладывается в множество подмножеств некоторого множества (теорема Стоуна). С другой стороны на топологическое пространство можно смотреть как на булеву алгебру подмножеств с операцией взятия внутренности. Куратовский предложил эквивалентную аксиоматизацию топологический пространств через оператор взятия внутренности. Оказалось, что эти аксиомы дают в точности аксиоматизацию модальной логики S4. Модальная логика высказываний, получается добавлением оператора к языку булевых формул. При этом этот язык получается очень слабо выразительным, многие естественные свойства топологических пространств (плотность, аксиомы отделимости, компактность и т.д.) оказываются невыразимыми. Тем не менее, большим плюсом модальной логики S4 является ее разрешимость, которая отсутствует в логике предикатов, в которой можно выразить гораздо больше свойств топологических пространств.
Во второй части доклада я расскажу про различные способы, обогащения языка модальной логики, которые позволяют выражать больше свойств топологических пространств, оставаясь в рамках разрешимых исчислений.
В третьей части доклада я расскажу про конструкцию битопологического произведения, которая возникла в рамках развития топологических модальных логик многомерных структур. Результатом произведения двух топологических пространств является битопологическое пространство с горизонтальной и вертикальной топологиями. В горизонтальной топологии множество открыто, если все проекции горизонтальных сечений открыты. Аналогично для вертикальной топологии. Эта конструкция позволяет различить топологические пространства, которые были неразличимы в других языках. Я расскажу про результаты в этой области и открытые вопросы.