Открытие обобщенных биллиардов и топологическое моделирование гамильтоновых систем

Топологический подход к системам с симметриями (главным образом, гамильтоновым системам), был во многом мотивирован пионерской работа С.Смейла (1970), а также работами М.П.Харламова по изучению классически волчков.
В работах А.Т.Фоменко был построен аналог теории Морса для случая вполне интегрируемых систем и развит топологический подход для их классификации. Лиувиллева эквивалентность двух систем, т.е. совпадение замыканий почти всех их решений в определенных зонах энергии, оказалось равносильна совпадению их инвариантов Фоменко-Цишанга - графов с дополнительным оснащением типами бифуркаций слоения и числовыми метками. Данный подход нашел в работах академика А.Т. Фоменко и его научной школы многочисленные приложения в задачам из геометрии, механики и математической физики.
В последние годы подход получил дальнейшее развитие на новые классы систем: интегрируемые биллиарды (системы с ударами) и геодезические потоки, связанные с софокусными квадриками, системы с некомпатными слоями и аналоги классических систем механики.
Полученные в данных направлениях результаты коллектива авторов были удостоены Премии Президента РФ для молодых учёных в области науки и инноваций за 2025 год. В докладе будет дан обзор этих результатов.
1) Как оказалось, многие интегрируемые системы можно топологически моделировать при помощи весьма наглядных систем - математических биллиардов. В дополнение к получаемым в последние годы результаты о гипотезе Биркгофа (из чего следует "узость" класса интегрируемых биллиардов на плоских столах с кусочно-гладкой границей), введение В.В.Ведюшкиной класса обобщенных биллиардов на кусочно-плоских столах – двумерных многообразиях (топологические биллиарды, 2015) и клеточных комплексах с коммутирующими перестановками (биллиардные книжки, 2018), позволило принципиально расширить класс интегрируемых биллиардов и показать широту моделируемых ими слоений Лиувилля в классе всех слоений невырожденных интегрируемых гамильтоновых систем с 2 степенями свободы (гипотеза А.Т.Фоменко о биллиардах). Была показана реализуемость биллиардами произвольной невырожденной бифуркации (3-атома Фоменко), базы слоения Лицвилля (молекулы Фоменко) и числовых меток. Установлен ряд необходимых условий на общий вид реализуемого биллиардной книжкой инварианта (2025).
Также был обнаружен ряд нетривиальных эффектов топологического моделирования систем биллиардами. Например, это показанные В.В. Ведюшкиной и А.Т. Фоменко понижение степени интеграла систем Ковалевской и Горячева-Чаплыгина с 4 и 3 до 2 (2019), биллиардная эквивалентность систем Эйлера и Лагранжа (2022). Также Ведюшкиной была показана не ограниченность реализуемых биллиардами трёхмерных многообразий многообразиями Зейферта (2020).
2) Ряд результатов В.А.Кибкало, полученных лично или с соавторами, посвящен изучению аналогов механических систем для различных алгебр Ли и в псевдоевклидовом случае. Например, аналоги волчка Ковалевской в случае алгебр so(3,1) и so(4) возникли в работе И.В.Комарова в связи с вычислением базиса для атома водорова. Класс псевдоевклидовых аналогов был предложен А.В.Борисовым и И.С.Мамаевым. В таких системах обнаружены некомпактные слоения и их бифуркации, в том числе некротические.
Также ряд работ был посвящен изучению особенностей других систем, например, реализации интегрируемыми биллиардами невырожденных особенностей интегрируемых систем с положениями равновесия, определению типа вырожденных особенностей осесимметричной системы Жуковского, типичных бифуркаций между потоками Морса-Смейла. Ряд недавних результатов позволяет установить связи теории интегрируемых систем с общей проблемой обучения дифференциальных нейросетей (2026).
3) Г.В.Белозеровым было получено, в том числе совместно с А.Т. Фоменко, глубокое обобщение классических теорем геометрии - теоремы Якоби-Шаля и теоремы Грейвса, конструкции Штауде, задающих эллипсоид с помощью нити. Также вычислены функции вращения для широкого класса круговых биллиардов, показано что они не всегда являются монотонными, как утверждала гипотеза F. Для биллиардов на трехмерных софокусных столах и геодезических потоков на двумерных квадриках им была изучена топология слоения Лиувилля, выполнена топологическая классификация.