Скорость сходимости черновских аппроксимаций полугрупп операторов и приближённое решение дифференциальных уравнений

В докладе будет представлена (на удивление простая) схема доказательства теоремы о скорости сходимости черновских аппроксимаций к сильно непрерывной полугруппе операторов, параметризованной неотрицательным вещественным числом. Теорему, подобную этой, искали на протяжении более 50 лет, с момента публикации теоремы Чернова в 1968 году, и для поиска коллеги со всего мира использовали широкий спектр инструментов функционального анализа, но результат был получен лишь недавно и очень простыми средствами.
Одномерный аналог теоремы Чернова утверждает следующее: если S – вещественная функция вещественного переменного, S(0)=1, S'(0)=L, то для каждого вещественного числа́ t чи́сла (S(t/n))^n стремятся к числу exp(tL) при стремлении n к бесконечности. Этот простой факт легко доказывается с помощью "теоремы о втором замечательном пределе" из курса математического анализа. Бесконечномерная версия этого утверждения называется теоремой Чернова, в ней L это замкнутый плотно определённый линейный оператор в банаховом пространстве, exp(tL) это С0-полугруппа операторов с генератором L, а S называется функцией Чернова для L. Таким образом, для приближённого нахождения полугруппы оказывается достаточно найти хотя бы одну функцию Чернова для генератора полугруппы, и это облегчает дело, так как найти её намного проще, чем, к примеру, резольвенту генератора. Причина этого в том, что если оператор является генератором полугруппы, то эта полугруппа одна, и резольвента у этого оператора тоже одна, а вот функций Чернова всегда много, и поэтому найти какую-то из функций Чернова легче, чем единственную полугруппу или единственную резольвенту. А по этой функции Чернова уже можно с помощью теоремы Чернова получить сперва полугруппу, а затем и резольвенту - поскольку резольвента получается из полугруппы с помощью преобразования Лапласа.
Оригинальная теорема Чернова не содержит никаких указаний на то, какие свойства функции Чернова будут влиять на скорость сходимости черновских аппроксимаций при стремлении n к бесконечности, и даже в одномерном случае это нетривиальная задача. О решении задачи в общем случае будет рассказано в докладе.
Также будет рассказано о том, как с помощью черновских аппроксимаций найти резольвенту генератора полугруппы, а с её помощью находить решения дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами - обыкновенных и эллиптических с частными производными.
Заметим, что теория полугрупп операторов изначально возникла из потребности записывать решения линейных эволюционных уравнений с частными производными (параболических и Шрёдингера) на языке теории операторов. Теорема Чернова позволяет во многих случаях выразить сколь угодно точные аппроксимации к решению задачи Коши через коэффициенты этих уравнений и начальное условие, а также математически обосновать корректность представления решения в виде интеграла Фейнмана. Множество работ и результатов в этой области принадлежит заслуженному профессору МГУ Олегу Георгиевичу Смолянову - учителю соавторов доклада, познакомившему их с этой тематикой.