Новая практика применения частотно-ранговых распределений

Известно, что частотно-ранговые распределения давно используются в различных областях человеческой деятельности при описании количественных характеристик наблюдаемых явлений. Феномен их применения был открыт в первой половине двадцатого века и связан с работами, ставшими классическими в области демографии [1], биологии [2, 3], сейсмологии [4], лингвистики [5] и др. Для частотно-ранговых распределений зарубежные исследователи [6] используют название «рower-law distributions».
Среди ранговых распределений особое место занимают распределения, описываемые законами Ципфа, Парето, Лотки, Мандельброта и др. В ранговых распределениях участвуют только целые величины — ранг (номер) объекта $r$, и частота встречаемости $\omega$ рассматриваемой характеристики объекта: задается ранг и ему сопоставляется частота встречаемости. В частности, если для какого-нибудь довольно большого текста составить список всех слов, которые встретились в нем, а потом ранжировать эти слова в порядке убывания частоты $\omega$ их появления в тексте, то согласно закону Ципфа произведение ранга (номера) слова $r$ и частоты появления $\omega$ будет величиной постоянной: $\omega r=const$. Однако существует достаточно много явлений, для которых описание их характеристик не согласуется с указанными законами. Это стимулировало исследователей как к поиску зависимостей более точно аппроксимирующих эмпирические данные, так и формулировке общих моделей, приводящих к ранговым распределениям.
Новые идеи для рангового анализа были предложены в работе В.П. Маслова [7]. В представленном докладе теоретические результаты В.П. Маслова использованы при исследовании проблемы кластеризации данных. Это выполнено на примере решения задачи о выделении подгрупп работников в некоторой профессиональной группе и задачи выявления групп пациентов по степени тяжести заболевания.
Метод ранговых распределений используется для анализа качества Уголовного кодекса РФ на примере преступлений в сфере экономики. Общая идея решения этой задачи состоит в рассмотрении кодекса как текстового документа, для исследования которого предполагается воспользоваться ранговым анализом. Предпринята попытка формализации оценки качества изменений, проводимых при составлении законов.
Показано, что исследование внешних проявлений структурных особенностей крупных империй и государств можно выразить набором кривых, описываемых уточненным законом Ципфа. Идеальная ципфовская кривая характерна для классических империй со сложной экономикой (Китай, Рим и др.). Чем проще структура политии, тем кривая ближе к прямой.
Новая практика применения теоретических результатов В.П. Маслова реализована для анализа режимов течений жидкости, возникающих при их численном моделировании. На примере течения типа Колмогорова для двумерного движения вязкой жидкости предложен ранговый анализ поля завихренности и частоты ее встречаемости. Показано, что для хаотического, вихревого и ламинарного режимов движения жидкости ранговые распределения проявляют характеристики, которые можно использовать для классификации типов течений.
Список литературы
1. Auerbach, F. (1913). Das Gesetz der Bevölkerungskonzentration. Petermanns Geographische Mitteilungen, 59, 74-76.
2. A. J. Lotka. “The Frequency Distribution of Scientific Productivity.” Journal of the Washington Academy of Sciences 16 (1926), 317—323.
3. Gleason, H. A. (1929). The Significance of Raunkiaer’s Law of Frequency. Ecology, 10(4), 406–408. 
4. B. Gutenberg and C. F. Richter, “Frequency of earthquakes in California,” Bull. Seismol. Soc. Am. 34, 185–188 (1944).
5. Zipf G.K. Human Behavior and the Principle of Least Effort. — Addison-Wesley Press, 1949.  — 573 с.
6. Mitzenmacher, M. (2004). A Brief History of Generative Models for Power Law and Lognormal Distributions. Internet Mathematics, 1(2), 226–251.
7. Маслов В.П. Об одной общей теореме теории множеств, приводящей к распределению Гиббса, Бозе-Эйнштейна, Парето и закону Ципфа-Мандельброта для фондового рынка // Мат. заметки. 2005. Т. 78, вып. 6. С. 870-877.