Геометрия линий кривизны гиперповерхностей и кривизна двумерных поверхностей в четырехмерном пространстве

Диссертационная работа посвящена исследованию геометрии линий кривизны поверхностей и геометрическим свойствам двумерных поверхностей в четырёхмерном евклидовом пространстве, связанных с кривизной. Для гиперповерхностей обобщена известная теорема Дьюпена. Для нахождения линий кривизны использованы Гамильтоновы векторные поля. В частности доказано, что одно из семейств линий кривизны эллиптического параболоида состоит из интегральных кривых Гамильтонова векторного поля Гамильтона, а второе семейство линий кривизны из геодезических линий. Рассматриваемые двумерные поверхности являются орбитами Гамильтоновых векторных полей. Описана геометрия сингулярного слоения, порожденного орбитами систем из двух векторных полей в четырехмерном пространстве. Найдены нормальные кручения и нормальные кривизны орбит, а также вычислены Гауссовы кручения. Кроме того, с использованием геометрии векторных полей найдены инвариантные решения двумерного уравнения теплопроводности Полученные результаты способствуют развитию дифференциальной геометрии и могут быть использованы в смежных областях математики и математической физики.