Смешанные структуры Ходжа и аффинные модели

Классическая теория Ходжа — один из основных инструментов современной алгебраической геометрии, позволяющий, например, однозначно восстанавливать гладкую проективную кривую по структуре Ходжа на её когомологиях (теорема Торелли). В случае негладких или непроективных алгебраических многообразий классическая теория Ходжа оказывается бессильна.
Пьер Делинь в 1970-х ввел смешанные структуры Ходжа — мощный инструмент, работающий для произвольных алгебраических многообразий. С тех пор эти структуры нашли замечательные применения не только в алгебраической геометрии, но и в теории представлений и теории гомотопий.
Вычисление смешанных структур Ходжа остаётся нетривиальной практической задачей. Шаг вперёд сделал Арапура в 2004 году, показав, как смешанная структура Ходжа на многообразии X может быть восстановлена по структуре на базе $Y$ и на слоях отображения $f: X \to Y$. Более точно, спектральная последовательность Лере обладает канонической структурой Ходжа.
В докладе мы начнём с основных примеров и идей теории смешанных структур Ходжа. Затем мы разберём подход Арапуры, его связь с аффинными моделями и вкратце обсудим приложения. Если позволит время, будет представлено недавнее обобщение этих результатов, полученное докладчиком совместно с Алексеем Гориновым, расширяющее область применимости метода.