Об оценках взвешенного числа целых точек на квадриках

В своей статье 1996 года о квадратичных формах Хис-Браун разработал версию кругового метода для подсчета числа N(L) точек пересечения квадрики с решеткой короткого периода $L^{-1},$ где $L\gg1,$ когда каждой точке придан вес, и аппроксимировал эту величину интегралом от весовой функции по некоторой мере на квадрике. В частности, результат Хис-Брауна влечет, что $N(L)$ растет с $L$ как $L^{d-2},$ при размерности решетки $d\ge 5.$
Модификации вопроса, рассмотренного Хис-Брауном, играют все большую роль в математической физике при анализе сложных нелинейных систем с резонансами. В 2023 году совместно с С. Влэдуцем, С. Куксиным и А. Майокки мы уточнили результат Хис-Брауна и переписали его понятным для людей из анализа языком, чтобы затем его использовать при работе над математикой волновой турбулентности. А недавно я предложил простую переформулировку контринтуитивной для людей из анализа асимптотики $N_L \sim L^{d-2},$ в которую (людям из анализа) верится гораздо охотнее. В своем докладе я расскажу об этих результатах, а также некоторых открытых вопросах.
Ссылка на онлайн трансляцию семинара https://mian.ktalk.ru/awo7gpxikhtb?pinCode=9201