Асимптотика среднего числа частиц периодического ветвящегося случайного блуждания в удаляющейся точке

Рассматривается однородный марковский процесс со значениями в пространстве всех конечных целочисленных мер в $\mathbb{Z}^d$. Переходы в этом процессе интерпретируются либо как перемещения частицы по графу, либо как ветвление частицы на некоторое число потомков в той же вершине, в которой она находилась. Эволюция частиц считается независимой друг от друга.
Предполагается, что рассматриваемый граф и расположение источников ветвления периодические относительно некоторой целочисленной решетки в $\mathbb{Z}^d$, а в начальный момент времени на графе присутствует единственная частица. Для такой модели в работе [1] была получена асимптотика среднего числа частиц в фиксированной вершине для случая стационарной точки наблюдения. В докладе будут обсуждаться результаты об аналогичной асимптотике в случае, когда расстояние от точки старта до точки наблюдения растет со временем (как $O(t^{\alpha})$, где $\alpha < \frac{5}{6}$). Эти результаты можно трактовать как результаты о распространении фронта частиц.
[1] М. В. Платонова, К. С. Рядовкин. Ветвящиеся случайные блуждания на Zd с периодически расположенными источниками ветвления. Теория вероятн. и ее примен. 64.2 (2019), 283–307.