Аннотация:
Пусть $\mathbb T = \mathbb R/2\pi\mathbb Z$, $d\ge 2$. Каждой интегрируемой функции
$f: \mathbb T^d \to \mathbb C$ мы сопоставляем ее тригонометрический ряд
Фурье
$$ f \sim \sum_{\mathbf k\in\mathbb Z^d} \hat f(\mathbf k) \exp(i\mathbf k\mathbf x),$$
где $\mathbf k = (k_1,\dots,k_d)\in \mathbb Z^d$, $\mathbf x = (x_1,\dots,x_d)\in \mathbb T^d$,
$\mathbf k \mathbf x = k_1x_1 + \dots + k_dx_d$.
Для ограниченного множества $A\subset\mathbb R^d$
мы определяем частные тригонометрические суммы Фурье относительно множества $A$
$$ S_A(f) (x) = \sum_{\mathbf k\in\mathbb Z^d\cap A} \hat f(\mathbf k) \exp(i\mathbf k\mathbf x).$$
Определим частные суммы $f$ по Прингсхейму. Пусть
$\mathbf n = (n_2,\dots,n_d)\in \mathbb N^d.$ Обозначим
$$ S_{\mathbf n} (f) = \sum_{|\mathbf k| \le \mathbf n}
\hat f(\mathbf k) \exp(i\mathbf k\mathbf x),$$
где $|\mathbf k| \le \mathbf n$ означает, что
$|k_j| \le n_j$ при $j=1,\dots,d$.
Теорема 1.
Для любой функции $f\in L(\mathbb T^d)$ существует последовательность
частных сумм по Прингсхейму, сходящаяся к $f$ в $L^p$ при любом $p\in(0,1)$
и почти всюду.
Теорема 2.
Для любой функции $f\in L(\mathbb T^d)$, любого множества
$E\subset \mathbb T^d$ положительной меры и любой последовательности
векторов $\{\mathbf n^{(j)} = (n_1^{(j)}, \dots, n_d^{(j)})\}$,
удовлетворяющей условию
$$ \min(n_1^{(j)}, \dots, n_d^{(j)})\to 0],(j\to\infty) \tag{1},$$
если $S_{\mathbf n^{(j)}} (f)$ сходится к конечной функции $g$ на $E$, то $g$ совпадает с $f$ почти всюду на $E$.
Если функция $f$ действительна, то и ее частные суммы по Прингсхейму также
будут действительными функциями. В этом случае условие конечности $g$ на $E$
можно опустить, разрешив ей принимать значения $+\infty$ и $-\infty$:
при выполнении условий теоремы 2 последовательность
$\{S_{\mathbf n^{(j)}} (f)\}$ не может сходиться к $+\infty$ или $+\infty$
на множестве положительной меры.
Если $f$ не обязательно действительнозначная функция, то можно поставить вопрос,
может ли при выполнении условия (1) равенство
$$ \lim_{j\to\infty} |S_{\mathbf n^{(j)}} (f)| = \infty \tag{2}$$
выполняться на множестве положительной меры? Оказывается, что это равенство может выполняться почти всюду.
Для различных классов последовательностей множеств $\{A_j\}$, $j =1,2,\dots$ мы рассматриваем
вопрос: возможно ли, что последовательность $\{|S_{A_j}(f)|\}$
сходится к бесконечности почти всюду на $\mathbb T^d$?
|
