Задача Дезина для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа с краевыми условиями первого рода

В прямоугольной области рассматривается неоднородное уравнение второго порядка смешанного параболо-гиперболического типа. Исследуется задача А. А. Дезина, которая заключается в отыскании решения уравнения, удовлетворяющего внутренне-краевому условию, связывающему значение искомой функции на линии изменения типа со значением нормальной производной на границе в гиперболической подобласти, и неоднородным граничным условиям первого рода на боковых сторонах области. Решение строится в виде суммы ряда Фурье по ортонормированной системе собственных функций соответствующей одномерной спектральной задачи. Установлен критерий единственности решения. Для случая нарушения этого критерия построено нетривиальное решение однородной задачи и получено необходимое и достаточное условие разрешимости неоднородной задачи. При обосновании сходимости построенного ряда возникает проблема малых знаменателей, зависящих от соотношения сторон прямоугольника в гиперболической части области. Получены достаточные условия на параметры задачи, обеспечивающие отделимость этих знаменателей от нуля. При выполнении этих условий и определенных требований гладкости к правой части уравнения доказана абсолютная и равномерная сходимость как самого ряда, так и рядов его производных, входящих в уравнение. Тем самым доказаны теоремы единственности и существования решения; решение выписано в явном виде.