Неустойчивость равновесия и зоны застоя в рамках некоторых осесимметричных моделей в механике жидкости

Проблема разработки методов исследования осесимметричных потенциальных соленоидальных полей в механике жидкости, включающих в себя эффективную концепцию дифференцируемых отображений, была обозначена М.А. Лаврентьевым в 1967 году в статье
Lavrentieff, M.A. On the theory of quasi-conformal mappings of three-dimensional domains. J. Anal. Math. 19, 217–225 (1967)
Более полно проблема была сформулирована им совместно с Б.В. Шабатом в 1973 году в книге
Лаврентьев, M.A., Шабат, Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. Москва, Наука (1973)
Если потенциальное поле $\vec V = (V_0, V_1, V_2)$ интерпретируется как безвихревое поле скоростей в $\mathbb R^3=\{(x_0, x_1,x_2)\}$, то свойства установившихся потенциальных движений неоднородных изотропных сред могут быть исследованы в терминах градиентных динамических систем
\begin{gather*} \frac{dx_0}{dt} = V_0(x_0, x_1,x_2), \quad \frac{dx_1}{dt} = V_1(x_0, x_1,x_2), \quad \frac{dx_2}{dt} = V_2(x_0, x_1,x_2). \end{gather*}
Bryukhov, D. On modified quaternionic analysis, irrotational velocity fields and new gradient dynamical systems in $\mathbb R^3$. In: Simos T.E. et al. (eds.) ICNAAM 2013, Rhodes, Greece. AIP Conf. Proc., vol. 1558, New York, pp. 485–488 (2013)
В рамках аналитических моделей потенциальных полей $\vec V$ уравнение неразрывности вида $ \mathrm{div} \, ( \phi \ \mathrm{grad}{\ h}) = 0 $, где $\vec V = \mathrm{grad} \ h$, в случае цилиндрически-слоистых сред, где $\phi(\rho)={\rho}^{-\alpha},$ $\alpha \ge 0,$ $\rho\equiv\sqrt{x_1^2+x_2^2}>0$, в открытых односвязных областях $\Lambda\subset\mathbb R^3$ вне оси симметрии $x_0$ принимает форму осесимметричного уравнения Лапласа–Бельтрами:
$$ (x_1^2+x_2^2)\Delta{h} - \alpha \left( x_1\frac{\partial{h}}{\partial{x_1}} + x_2\frac{\partial{h}}{\partial{x_2}}\right) =0. $$
Bryukhov, D. Electrostatic fields in some special inhomogeneous media and new generalizations of the Cauchy-Riemann system. Adv. Appl. Clifford Algebras 31, 61 (2021)
Новые методы теории дифференцируемых отображений применяются в данной работе для построения современных осесимметричных моделей потенциальных полей в однородных и неоднородных средах. В частности, решена проблема, поставленная M.A.Лаврентьевым и Б.В.Шабатом. При этом все положения равновесия являются неустойчивыми и вырожденными. Зоны застоя могут быть охарактеризованы с помощью различных поверхностей вращения.