Проективно самодвойственные алгебраические многообразия и нильпотентные орбиты

Проективная двойственность для алгебраических многообразий рассматривается в различных областях математики в сущности уже более полутора веков. Переход к проективно двойственному многообразию является алгебро-геометрическим обобщением преобразования Лежандра в классической механике.
В 1985–86 гг. Л. Эйн классифицировал (по модулю знаменитой гипотезы Хартсхорна) гладкие проективно самодвойственные алгебраические многообразия. Их оказалось мало. В докладе будет описан способ построения большого числа проективно самодвойственных алгебраических многообразий с особенностями. Они появляются как проектифицированные замыкания некоторых орбит из нуль-конуса Гильберта.
Для присоединённого представления это в точности орбиты нильпотентных элементов, которые Дынкин назвал полурегулярными, а Бала и Картер — distinguished. Для представлений изотропии симметрических пространств проективная самодвойственность замыканий нильпотентных орбит тоже приводит к эквивалентному алгебраическому понятию: так называемым $(-1)$-distinguished элементам.
Переход с помощью соответствия Костанта–Секигучи к нильпотентным орбитам соответствующей вещественной полупростой алгебры Ли приводит к ещё одному эквивалентному алгебраическому понятию: так называемым компактным вещественным нильпотентного элементам. Как и в присоединённом случае, все такие орбиты удается классифицировать.