Матричное представление теории Пикара-Лефшеца-Фама вблизи действительной плоскости в С^2

Исследуется ветвление определенных интегралов, зависящих от комплексных параметров $t\in \mathbb{C}^M$. Интегрирование производится по переменным $z\in \mathbb{C}^2$; подынтегральная функция $F(z;t)$ может иметь особенности типа полюсов или ветвлений по переменным $z$. Положение особенностей может зависеть от $t$. Все рассмотрение производится в окрестности действительной плоскости по переменным $z$ и действительного подпространства по переменным $t$.
Ветвление интеграла соответствует обходам особых точек (множества Ландау) в пространстве $t$, соответствующих “защемлению” поверхности интегрирования сингулярностями.
Изучение ветвления интеграла производится топологическими методами: исследуется ветвление группы гомологий, которой принадлежит поверхность интегрирования. Традиционный инструмент для такого исследования – формула Пикара-Лефшеца, точнее, ее подкрученная версия. Для применения этой формулы необходимо вычислить индексы пересечения между поверхностью интегрирования и исчезающими клетками, что обычно представляет собой довольно сложную задачу.
В докладе представлен матричный формализм для описания ветвления поверхностей интегрирования. Выведены формулы, эквивалентные формулам Пикара-Лефшеца, однако более удобные в использовании. Формализм позволяет воспроизвести упомянутые индексы пересечения, а также некоторые тонкие топологические свойства разветвляющихся интегралов.
Область применения предлагаемого метода – теория дифракции, в частности, предполагается, что с его помощью можно достичь прогресса в построении двумерного метода Винера-Хопфа, что является давней мечтой исследователей.
В докладе излагаются основные идеи препринта arXiv:2412.02481. Работа выполнена в соавторстве с А.И.Корольковым и Р.Ассиером (Манчестерский университет).