О невырождении пары ветвящихся процессов в общей случайной среде

В докладе рассматривается модель пары ветвящихся процессов $\{\boldsymbol{Z_n} = \left(Z_{n, 1}, Z_{n, 2}\right), \; n \in \mathbb{N}_0 \}$ в общей случайной среде (ПВПСС). При фиксации последней последовательности случайных величин $\{Z_{n, 1}, \; n \in \mathbb{N}_0\}$ и $\{Z_{n, 2},\; n \in \mathbb{N}_0\}$ предполагаются независимыми ветвящимися процессами в изменяющейся среде.
ПВПСС является частным случаем многотипного ветвящегося процесса, в котором, однако, частицы одного типа могут порождать частицы другого, в нашем случае это невозможно. Такое упрощение модели позволяет изучать процесс при гораздо менее жестких условиях.
Мы будем рассматривать критическую ПВПСС $\{\boldsymbol{Z_n}\}$, то есть и процесс $\{Z_{n,1}\}$, и процесс $\{Z_{n,2}\}$ предполагаются критическими. Под невырождением процесса $\{\boldsymbol{Z_n}\}$ мы понимаем невырождение обоих типов частиц. Мы покажем, что имеет место следующее асимптотическое соотношение для вероятностей невырождения:
$$\mathbf{P}\left(Z_{n, 1} > 0, Z_{n,2}>0 \right) \sim C n^{-a}, \quad n \to \infty,$$
где параметр $a$ зависит только от коэффициента корреляции $\rho$ компонент шага двумерного сопровождающего блуждания процесса $\{\boldsymbol{Z_n}\}$. Предполагается, что коэффициент корреляции $\rho$ лежит в интервале $(0, 1)$, также накладываются некоторые моментные ограничения на шаг сопровождающего блуждания.
Как и в случае ветвящегося процесса в случайной среде, оказывается, что асимптотически вероятность невырождения ПВПСС к моменту $n$ лишь на мультипликативную константу отличается от вероятности “положительности” двумерного сопровождающего блуждания при $n \to \infty$.
Отметим, что вопросы, связанные с асимптотическим поведением вероятностей “положительности” многомерных случайных блужданий подробно исследованы В. Вахтелем и Д. Денисовым в работе [1].

• Denisov D., Wachtel V. Random walks in cones revisited //Annales de l'Institut Henri Poincare (B) Probabilites et statistiques. – Institut Henri Poincaré, 2024. – Т. 60. – №. 1. – С. 126-166.