О трансцендентном случае в задаче об орбитальной устойчивости маятниковых колебаний тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой в случае Гесса

Рассматривается задача об устойчивости маятниковых периодических движений твердого тела с одной неподвижной точкой. Предполагается, что тело движется в однородном поле тяжести, а его геометрия масс соответствует случаю Гесса. Период маятниковых периодических движений тела зависит от начальных условий, поэтому они неустойчивы по угловой координате (углу отклонения от вертикали). Однако, с теоретической и прикладной точек зрения значительный интерес представляет задача об орбитальной устойчивости указанных периодических движений.
Уравнения движения твердого тела с неподвижной точкой можно записать в форме уравнений Гамильтона. Это позволяет применить для исследования орбитальной устойчивости хорошо разработанные методы гамильтоновой механики. В общем случае анализ устойчивости проводится по следующей схеме. Строится каноническая замена переменных, приводящая функцию Гамильтона задачи к нормальной форме. Нормализация проводится до членов конечного порядка в разложении функции Гамильтона в ряд в окрестности периодического решения. Задачи об орбитальной устойчивости в полной и нормализованной системе эквивалентны, но нормализованная система проще для дальнейшего исследования. Нелинейный анализ устойчивости нормализованной системы можно выполнить на основании методов теории КАМ и общей теории устойчивости А.М. Ляпунова. Строгие выводы об устойчивости получаются в виде неравенств на коэффициенты нормальной формы функции Гамильтона.
Оказалось, что в рассматриваемой задаче об орбитальной устойчивости маятниковых периодических движений в случае Гесса имеет место так называемая трансцендентная ситуация, когда вопрос об устойчивости не решается на основании членов конечного порядка в разложении функции Гамильтона и упомянутый выше общий подход к исследованию устойчивости неприменим. Предложен подход для исследования орбитальной устойчивости периодических движений гамильтоновых систем с двумя степенями свободы в трансцендентных случаях. На основании этого подхода в данной работе показано, что при всех возможных значениях параметров маятниковые колебания твердого тела в случае Гесса орбитально неустойчивы.