Подходы к анализу устойчивости линейных систем с переключениями

Системы с переключениями – особый тип нестационарных динамических систем. Параметры (и структура) таких систем меняются во времени по некоторому закону переключений. В докладе рассматриваются линейные системы с переключениями, у которых параметрами выступают целиком матрицы линейных подсистем из некоторого известного множества. Изучение таких систем началось в 60-е годы ХХ века (В.И. Уткин, С.В. Емельянов), а в последние десятилетия в связи с развитием сетевых систем и популяризацией интеллектуальных систем управления они привлекли внимание широкого круга исследователей (D. Liberzon, К. Narendra, F. Blanchini, J.C. Geromel, P. Colaneri, Е.С. Пятницкий, В.Ю. Протасов, В.А. Каменецкий, А.Ф. Филиппов и др.). Основными областями практического приложения систем с переключениями являются синтез гибридных систем, адаптивное управление, теория диагностирования неисправностей и др.  
Важнейшей задачей исследования систем с переключениями является анализ их устойчивости. Для ее решения используется широкий набор методов, среди которых использование функций Ляпунова различного вида, анализ наихудшего закона переключений, теория абсолютной устойчивости, теория дифференциальных включений и т.д. В докладе приводится обзор известных и новых результатов по ряду подходов:
- В случае анализа на основе общей квадратичной функции Ляпунова получено аналитическое решение задачи для двух систем с переключениями специального вида.
- Для подхода на основе сверхустойчивости рассматривается задача одновременной стабилизации с использованием техники D-разбиения.
- Последний подход основан на решении систем линейных матричных неравенств (ЛМН): их разрешимость гарантирует устойчивость системы с переключениями.
Приводится интерпретация найденных решений ЛМН в терминах инвариантных множеств.