Аннотация:
Нормирование (дискретное, ранга один) нормирование на алгебре
$\mathcal{O}_{\mathbb C^2,0}$ ростков голоморфных функций двух переменных это —
отображение
$\nu: \mathcal{O}_{\mathbb C^2,0}\to \mathbb Z_{\ge 0}\cup \{+\infty\}$ такое что
1) $\nu(0)=+\infty$;
2) $\nu(\lambda f)=\nu(f)$ для $\lambda\in\mathbb C^*:=\mathbb C\setminus\{0\}$;
3) $\nu(f_1+f_2)\ge\min\{\nu(f_1),\nu(f_2)\}$;
4) $\nu(f_1 f_2)=\nu(f_1)+\nu(f_2)$. По сути имеются два класса
нормирований на $\mathcal{O}_{\mathbb C^2,0}$: определяемые комплексными кривыми
и так называемые дивизориальные. Пусть $(C,0)$ —
неприводимый росток кривой на плоскости $(\mathbb C^2,0)$,
который может быть задан параметризацией $(x(\tau), y(\tau))$,
$\tau\in (\mathbb C,0)$. Для
$f\in\mathcal{O}_{\mathbb C^2,0}$ обозначим через $\nu_C(f)$ степень главного
члена в разложении $f(x(\tau), y(\tau))\in\mathbb C[[\tau]]$:
$f(x(\tau), y(\tau))=a(f)\cdot\tau^{\nu_C(f)}+
\text{ члены более высокого порядка}$.
Если $f(x(\tau), y(\tau))\equiv 0$, $\nu_C(f)):=+\infty$.
Функция $\nu_C$ является {\em нормированием на $\mathcal{O}_{\mathbb C^2,0}$: определяемым кривой $C$}.
Рядом Пуанкаре нормирования $\nu$ называется
$P(t)=\sum_{k=0}^{\infty}\dim(J(v)/J(v+1))t^v$, где
$J(v):=\{f\in \mathcal{O}_{\mathbb C^2,0}: \nu(f)\ge v\}$.
Это понятие обобщается на наборы из $r$ нормирований.
(В этом случае ряд Пуанкаре — ряд от $r$ переменных).
Было доказано (докладчиком с соавторами), что ряд Пуанкаре набора
нормирований, определяемых кривыми $(C_i,0)$, $i=1,\ldots, r$,
совпадает с многочленом Александера (от нескольких переменных)
соответствующего (алгебраического) зацепления
$L=\left(\bigcup_{i=1}^r C_i\right)\cap S^3_{\varepsilon}(0)$.
Эффективным методом вычисления рядов Пуанкаре нормирований
на $\mathcal{O}_{\mathbb C^2,0}$ является некоторый бесконечномерный вариант
интегрирования по эйлеровой характеристике.
Вычисления и их геометрическая интерпретация становятся существенно
сложнее, если нормирования рассматриваются на алгебре
$\mathcal E_{\mathbb K^2,0}$ ростков функций, все коэффициенты рядов Тейлора
которых принадлежат фиксированному подполю $\mathbb K$ поля комплексных
чисел (например, (для $\mathbb K=\mathbb R$) алгебре ростков вещественных функций от двух переменных). В этом случае ряды Пуанкаре вычислены только для одиночных нормирований (определямых ростками кривых или дивизориальных). Для нормирований,
определяемых ростками кривых, эти ряды Пуанкаре также оказываются связанными с
многочленами Александера некоторых алгебраических узлов,
геометрическое описание которых не ясно.
|
