Представления симметрических и унипотентных групп

В своём докладе хочу дать некое введение в теорию представлений на примере симметрической группы и унипотентных групп. Напомню, что представлением той или иной группы G называется набор линейных операторов для некоторого векторного пространства W, задаваемых гомоморфизмом из группы G в автоморфизмы W. Оказывается, что все такие гомоморфизмы допускают более-менее явное описание. Самый простой (но важный) пример такого действия - это действие симметрической группы S_n на тензорном произведении $V\otimes V\otimes...\otimes V$ ($n$ копий произвольного векторного пространства V).
Мы быстренько вспомним теорию представлений симметрических групп S_2, S_3, обсудим роль классов сопряжённости для представлений общих конечных групп. Потом перейдём к симметрической группе S_n и проговорим как устроен базис Гельфанда-Цетлина для них в терминах полустандартных таблиц Юнга.
Дальше мы поговорим о том, как устроены представления унипотентных групп в гильбертовых пространствах и начнём с трёхмерной группы Гейзенберга, а потом перейдём к примеру верхнетреугольных матриц. Оказывается, что такие представления допускают описание, чем-то напоминающее описание для конечных групп, но вместо классов сопряжённости в самой группе нужно брать коприсоединённые орбиты (орбиты действия группы в кокасательном пространстве к единице группы). Мы обсудим как выглядят такие орбиты для группы Гейзенберга и для верхнетреугольных матриц. Мы так же обсудим концепцию поляризации линейных форм, которая позволяет явно строить представления унипотентных групп как L^2(X) для подходящего пространства X с действием исходной группы.
Ну и в самом конце я тезисно (с табличками) проговорю устроена классификация коприсоединённых орбит размерностей 2, 4, 6 для верхнетреугольных матриц (результат моей последней статьи).