Аннотация:
Теорема о бутерброде утверждает, что любые две фигуры на плоскости можно
одновременно поделить на две равные (по площади) части одной прямой. Это
доказывается простым применением теоремы о промежуточном значении. Кроме
того, используя более продвинутую технику типа теоремы Борсука-Улама,
можно для данного простого числа $p$ разбить плоскость на $p$ выпуклых
частей так, что каждая из двух фигур будет разбита на равные по площади
части. Итерируя такие выпуклые разбиения, можно получить аналогичный
результат для не обязательно простого количества частей $m$.
Ситуация становится более сложной, если мы делим на равные части что-то
не аддитивное. Например, Нандакумар и Рамана Рао поставили такую задачу:
Поделить выпуклую фигуру на плоскости на $m$ выпуклых частей равной
площади и равного периметра. Для степени простого числа $m$ это делается
некоторым вариантом теоремы Борсука-Улама для конфигурационных
пространств наборов по $m$ точек на плоскости. Но если $m$ не степень
простого, то итерации по разложению $m$ в произведение (степеней)
простых уже не срабатывают в силу отсутствия аддитивности периметра.
Тем не менее, в задаче Нандакумара и Рамана Рао можно проводить
итерации, если обобщить утверждение на некоторый тип многозначных
функций вместо периметра тогда на каждой итерации вместо одной
многозначной функции от выпуклой фигуры появляется другая.
Оказывается, такой метод позволяет решить и некоторые не решенные до сих
пор варианты задач о делении отрезка без зависти или деления плоских фигур
на в некотором смысле равные части.
|
