Аннотация:
Пусть $D=\{z\in\mathbb{C}\mid |z|<1\}$, а $T=\partial D=\{z\in\mathbb{C}\mid |z|=1\}$. Предположим, что
на окружности $T$ задана вероятностная мера $\mu$, не сосредоточенная в конечном наборе точек.
Применим процесс ортогонализации Грамма-Шмидта системы $1, z, z^2,\dots$ относительно
скалярного произведения $\langle f,g\rangle=\int_T f\bar{g}\, d\mu$. Полученные ортогональные полиномы
$\Phi_n(z)=z^n+\cdots$ удовлетворяют рекуррентному соотношению Сеге
$$
\Phi_{n+1}(z)=z\Phi_n(z)-\bar{\alpha}_n z^n\overline{\Phi_n\left(1/\bar{z}\right)}
$$
с начальным условием $\Phi_0(z)=1$, где для любого $n$
коэффициенты Верблюнского–Шура $\alpha_n=\alpha_n(\mu)\in D$. Соответствие
$\mu\leftrightarrow\{\alpha_n\}_{n=0}^\infty$ взаимно однозначно.
Рассмотрим обратную задачу — по коэффициентам Верблюнского–Шура узнать свойства меры $\mu$.
Пусть имеется набор случайных независимых и одинаково распределенных коэффициентов $\{\alpha_n\}_{n=0}^\infty$, и п.н. $\alpha_n\in D$.
Предположим, что $\alpha_0$ имеет плотность $p(z)$ относительно меры Лебега, и $\mathbb{E}\big[\ln(1-|\alpha_0|)\big]>-\infty$.
В докладе мы постараемся разобраться в результате А. Тепляева [2], утверждающем, что п.н. такому набору отвечает
дискретная мера $\mu$. Попутно мы убедимся, что любой унитарный оператор с простым спектром —
это бесконечная пятидиагональная матрица (M. Cantero, L. Moral, L. Velazquez [1]), и проинтерпретируем
результат А. Тепляева как наличие андерсоновской локализации для таких случайных пятидиагональных матриц.
[1] M. Cantero, L. Moral, L. Velazquez, Five-diagonal matrices and zeros
of orthogonal polynomials on the unit circle, Linear Algebra Appl. 362 (2003),
29–56.
[2] А. Тепляев, Чисто точечный спектр случайных ортогональных на окружности многочленов, ДАН 320 (1991), 49–53.
|
