О зацеплениях, отвечающих гамильтоновым циклам, гамильтоновым тэта-подграфам и гамильтоновым K_4-подграфам в 1-остовах трёхмерных простых многогранников

Гамильтонов цикл в 1-остове трёхмерного простого многогранника — это простой цикл, содержащий все его вершины.
Гамильтонов тэта-подграф — это набор из трёх простых путей, соединяющих две фиксированные различные вершины многогранника. Пути пересекаются только в начале и в конце. Все вершины многогранника лежат на объединении этих трёх путей. Гамильтонов K_4-подграф — это набор из 6 простых путей, попарно соединяющих 4 различные фиксированные вершины многогранника. Пути пересекаются только в концах, и все вершины многогранника лежат на объединении этих 6 путей.
В серии работ А.Д.Медных и А.Ю.Веснина была предложена конструкция, которая гамильтонову циклу, гамильтонову тэта-подграфу или гамильтонову K_4-подграфу в 1-остове простого многогранника сопоставляет трёхмерное ориентируемое многообразие с действием инволюции, пространство орбит которого является трёхмерной сферой. Отображение проекции на пространство орбит является двулистным накрытием, разветвлённым вдоль некоторого зацепления. Зацепление состоит из тривиально вложенных окружностей, соответствующих рёбрам, не входящим в гамильтонов подграф.
Доклад посвящён двум задачам, связанным с этими зацеплениями.
Первая задача мотивированна вопросом В.М.Бухштабера построения семейств Брунновых зацеплений (в которых каждый собственный поднабор образует тривиальное зацепление) и связана с так называемым эффектом Ефимова в квантовой механике: существованием связанных состояний трёх частиц, в котором каждая пара частиц не связана. Это эффект символически описывается кольцами Борромео. Оказывается, они соответствуют гамильтонову тэта-подграфу на кубе. Задача заключается в том, чтобы описать все зацепления из указанного выше класса, в которых любые две окружности образуют тривиальное зацепление. Мы даём исчерпывающий ответ на этот вопрос: для гамильтонова цикла это всегда не так, для тэта-подграфа необходимым и достаточным условием является то, что каждое дополнительное ребро многогранника соединяет вершины на разных путях. Для зацепления, отвечающего К_4-подграфу, необходимым и достаточным условием является то, что оно распадается в набор таких зацеплений, отвечающих тэта-подграфам. При этом во всех случаях если зацепление нетривиально, то оно содержит в себе кольца Борромео, в частности не является Брунновым (кроме самих колец Борромео).
Вторая задача заключается в классификации зацеплений, в дополнении к которым существует гиперболическая структура.
Мы строим несколько семейств таких зацепления. Для гамильтоновых циклов такие зацепления отвечают несамопересекающимся эйлеровым циклам в 1-остовах идеальных прямоугольных гиперболических многогранников. Для тэта-подграфов и K_4-подграфов такие зацепления отвечают похожим структурам в 1-остовах прямоугольных гиперболических многогранников с двумя или четырьмя собственными вершинами. В частности, дополнение до зацепления гиперболические, если оно отвечает гамильтонову циклу, тэта-подграфу или K_4-подграфу в 1-остове компактного прямоугольного гиперболического многогранника. Однако, есть и другие примеры. Например, кольца Борромео отвечают тэта-подграфу на кубе, однако их дополнение разбивается на 8 копий гиперболической 3-бипирамиды с двумя собственными и тремя идеальными вершинами (после срезки трёх идеальных вершин получается трёхмерный ассоциэдр, в когомологиях момент-угол многообразия которого имеется нетривиальное произведение Масси).
Детали используемых выше понятий и большинство результатов доклада содержится в препринте Nikolai Erokhovets, On hyperbolic links associated to Eulerian subgraphs on right-angled hyperbolic 3-polytopes of finite volume arXiv:2512.03017v3.