Аннотация:
Теорема Хелли без размерности утверждает, что если любое малое подсемейство конечного семейства выпуклых множеств имеет общую точку в некотором фиксированном ограниченном множестве, то после утолщения всех множеств на подходящий радиус, зависящий только от размера проверяемых подсемейств, всё семейство также приобретает общую точку. Асимптотика этого радиуса определяется геометрией объемлющего банахова пространства. Мы говорим, что банахово пространство обладает свойством аппроксимации Хелли, если этот радиус можно выбрать стремящимся к нулю при неограниченном росте размера проверяемых подсемейств.
В докладе будут обсуждаться как детерминистические, так и вероятностные подходы к этому кругу задач. Мы объясним полную характеризацию банаховых пространств со свойством аппроксимации Хелли: это свойство имеет место тогда и только тогда, когда сопряжённое пространство обладает нетривиальным Радемахеровым типом. Более точно, если $X^*$ имеет тип $p\in(1,2]$, то выполняется безразмерная теорема Хелли с радиусом порядка $k^{-1+1/p}$. Если останется время, мы также обсудим приложения к задаче $\ell_1$-минимизации.
Идентификатор: 832 7188 7890 Код: 991937
|
