Математические и вычислительные аспекты итерационных чебышевских схем интегрирования по времени параболических уравнений

Рассматриваются теоретические и вычислительные основы явно-итерационной чебышевской схемы ЛИ-М интегрирования по времени для многомерных линейных параболических уравнений. Конструкция чебышевской схемы ЛИ-М как метода интегрирования жесткой системы дифференциальных уравнений, возникающей при пространственной дискретизации начально-краевой параболической задачи, диктуется исключительно требованием аппроксимации и устойчивости. Это принципиально отличает схему ЛИ-М от чебышевского ускорения сходимости итерационных процессов, применяемых для решения эллиптических уравнений или для решения неявных схем для параболических уравнений. Необходимое ограничение на число итераций для обеспечения устойчивости дает теорема Гельфанда – Локуциевского. Схема ЛИ-М основана на оптимальных свойствах чебышевских многочленов. Степень многочлена, определяющая число итераций, находится без использования настроечных параметров, нужна только оценка максимального собственного значения дискретного оператора, она легко вычисляется по теореме Гершгорина о кругах спектра. Обсуждаются вопросы точности схемы, сохранения монотонности, приводятся примеры использования схемы для решения нелинейных параболических уравнений в приложениях.