Предельные теоремы для момента максимума случайного блуждания, достигающего фиксированного уровня

Рассмотрим осциллирующее случайное блуждание $S_n=X_1+\dots+X_n$, $n\in\mathbb{N}$, $S_0=0$, где $X_1,X_2,\dots$ — независимые одинаково распределенные (н.о.р.) случайные величины (сл.в.). Для этого блуждания хорошо известен закон арксинуса:
$$ {\mathbf P}\left(\frac{\tau_M}{n}\le x\right) \to \frac{2}{\pi} \arcsin\sqrt{x},\quad n\to\infty,\quad x\in [0,1], $$
где $\tau_M$ — момент первого достижения максимума блужданием $S_n$. Нас интересуют аналогичные результаты, но для
$$ {\mathbf P}\left(\left.\frac{\tau_M}{n}\le x\right|M_n=k\right),\quad x\in [0,1], $$
где $M_n = S_{\tau_M}$.
В докладе будет описано асимптотическое поведение данной вероятности в широком диапазоне $k$. В зоне нормальных уклонений получен результат для случайного блуждания, принадлежащего области притяжения устойчивого закона. Случай низких уклонений рассмотрен для случайного блуждания с конечной дисперсией, а в зоне умеренно больших уклонений результат получен для случайного блуждания с конечной дисперсией и при выполнении правостороннего условия Крамера.
Полученные результаты применяются к области ветвящихся процессов в случайной среде. Пусть $\{Z_n, n\geq0\}$ — ветвящийся процесс в случайной среде, $\{S_n, n\geq0\}$ — его сопровождающее случайное блуждание, $ L_n = \min\{S_0,S_1,\dots,S_n\}$. Нами получено асимптотическое поведение для вероятности
$$ {\mathbf P}\left( Z_n>0 \middle| L_n=-k \right) $$
для случаев, когда $k$ принадлежит области нормальных или низких уклонений.