Каскады бегущих волн при смешивающем вытеснении жидкостей

Мы рассматриваем вытеснение смешивающихся жидкостей в пористой среде под действием силы гравитации. Математически этот процесс описывается системой уравнений состоящей из закона сохранения, условия несжимаемости и закона Дарси (скорость жидкости пропорциональна градиенту давления). Такая система уравнений в литературе часто называется IPM – Incompressible Porous Media с диффузией. Нас интересует неустойчивое начальное состояние, при котором тяжелая жидкость расположена над легкой, что приводит к образованию гравитационных пальцев.
Мы изучаем упрощенную трубочную модель, возникающую при дискретизации пространства или при предположении о строго вертикальной структуре пальцев. Основная задача состоит в описании зоны смешивания, где сосуществуют обе жидкости. В качестве инструмента мы вводим специальные решения — каскады бегущих волн, представляющие собой последовательности склеенных волн. В ходе анализа естественно возникает связанная задача Transverse Flow Equilibrium, соответствующая закону Дарси при дополнительном предположении, что давление зависит только от вертикальной координаты.
В различных постановках мы показываем, что система допускает каскады, состоящие либо из конечного, либо из счетного числа бегущих волн.