Аннотация:
Доклад посвящен бифуркациям, возникающим в интегрируемых системах с двумя степенями свободы, зависящих от параметров. Примерами таких систем являются многие интегрируемые случаи динамики твердого тела. Предположим, что “невозмущенная” гамильтонова система (при нулевом значении параметра) имеет положение равновесия. Это — точка, в которой линейные части функции Гамильтона H и дополнительного первого интеграла равны нулю. Тогда квадратичные части этих функций в этой точке порождают пару коммутирующих гамильтоновых линейных операторов. Эти операторы порождают коммутативную подалгебру (относительно операции коммутатор) алгебры Ли $\mathrm{sp}(4,\mathbb R)$. Положение равновесия называется невырожденным, если эта коммутативная подалгебра удовлетворяет двум условиям: 1) двумерна, 2) содержит элемент с простым спектром. Невырожденные положения равновесия хорошо известны в любой размерности: по теореме Элиассона — Вея они задаются набором квадратичных первых интегралов вида
$f_i = (p_i^2+q_i^2)/2$ (эллиптический тип),
$f_j = p_jq_j$ (гиперболический тип),
$f_{2k-1} = \Re((p_{2k-1}+ip_{2k})(q_{2k-1}-iq_{2k}))$, $f_{2k} = \Im ((p_{2k-1}+ip_{2k})(q_{2k-1}-iq_{2k}))$ (тип фокус-фокус) в некоторой локальной криволинейной симплектической системе координат.
Докладчиком было введено понятие полуторической особенности интегрируемой системы. Совместно с Л.М. Лерманом была получена (2024) полулокальная классификация таких особенностей (в малых окрестностях компактных орбит гамильтонова $\mathbb R^n$-действия) в “общих” вещественно-аналитических интегрируемых системах с 2 и 3 степенями свободы. Оказалось, что помимо невырожденных особенностей здесь возникают особенности, в которых нарушается лишь одно из условий невырожденности 1) и 2) и возникает резонанс спектра. А именно: спектр содержит либо пару совпадающих собственных значений (резонанс 1:1 или 1:-1, и нарушено условие 2) простоты спектра), либо пару соизмеримых собственных значений (резонанс m:n, и нарушено условие 1) двумерности подалгебры).
Мы покажем, какие резонансы отвечают (вырожденным) положениям равновесия систем из динамики твердого тела. Покажем, как по резонансу определить стандартное отображение момента, описывающее данную бифуркацию. Опишем полулокальные и полуглобальные топологические инварианты для многих бифуркаций.
|
