Аннотация:
Будут обсуждены две открытые проблемы в теории выпуклых трехмерных многогранников.
Одна из них — так называемая проблема Дюрера (1970 г., Дж. Шепард, ранее известна как фольклор) о существовании у выпуклого многогранника реберной связной самонепересекающейся развертки. Суть проблемы: можно ли разрезать поверхность выпуклого многогранника вдоль некоторых его ребер так, чтобы развернуть ее на плоскость в простой многоугольник. Будет обсужден ряд результатов и предположений. В частности, будет сформулирована “Анти-Дюрер” гипотеза.
Другая проблема связана со знаменитой теоремой А.Д. Александрова, которая была решением проблемы Вейля для полиэдральной метрики и послужила основой решения этой проблемы в общем случае (Александров). Эта теорема дает необходимые и достаточных условия на развертку, чтобы она была разверткой выпуклого многогранника. Многогранник с данной разверткой единственен с точностью до конгруэнтности. Очень трудная (по мнению самого А.Д. Александрова) проблема состоит в том, как по заданной развертке восстановить этот единственный многогранник. В частности будет рассказано о том, как восстановить многогранник по развертке, имеющей не больше $5$ вершин положительной кривизны. Этот результат получен совместно с М.И. Штогриным.
|
