О многомерных задачах дивергенция-ротор и их связи с многомерными полями

Доклад будет посвящен многомерной задаче дивергенция-ротор с нулевым граничным условием Дирихле. Рассматривается система
$$ \begin{cases} \operatorname{curl} v = f, \\ \operatorname{div} v = 0 \end{cases} $$
с условием
$$ v|_{\partial\Omega} = 0. $$
В данную систему входят два дифференциальных оператора — дифференциал $d = \operatorname{curl}$ и кодифференциал $d^* = \operatorname{div}$. Как известно, разрешимость двумерной задачи дивергенция-ротор заключается в ортогональности $f$ гармоническим функциям. Однако это условие можно распространить на многомерный случай, заменив гармонические поля псевдо-гармоническими.
Оператор Лапласа на \(k\)-формах определяется как
$$\Delta = d^*d + dd^*.$$
Ядро этого оператора состоит из гармонических полей.
Для скалярных функций оператор Лапласа имеет только одно ненулевое слагаемое в паре дифференциал-кодифференциал: $\Delta = d^*d = \operatorname{div}(\nabla),$ или $\Delta = dd^* = \operatorname{curl}(\nabla^\perp)$.
В докладе будет показано, что условием разрешимости многомерной задачи является условие ортогональности псевдо-гармоническим полям, для которых только одна пара дифференциалов равна нулю $dd^* = 0$. Для скалярных функций эти псевдо-гармонические поля совпадают с гармоническими функциями, делая принцип ортогональности псевдо-гармоническим полям единым для всех размерностей.
На многообразиях без края ввиду сопряженности $d$ и $d^*$ условие $dd^* = 0$ эквивалентно условию $d^* = 0$. Однако для краевых задач ситуация существенно меняется.
Важным является вопрос построения счетного набора псевдо-гармонических полей, ортогональность которым эквивалентна выполнению нулевого граничного условия Дирихле. В ходе доклада также будет представлен 3D-задачи дивергенция-ротор, где будет построен счетный набор псевдо-гармонических полей, удовлетворяющих
$$dd^* A_n = \operatorname{curl} \operatorname{curl} A_n = 0.$$
Условие ортогональности $(f, A_n) = 0$ будет являться достаточным для разрешимости задачи.
Также в ходе доклада будет рассказано о неоднородной двумерной внешней задаче дивергенция-ротор для несоленоидальных полей.