Аннотация:
Основным инструментом в теории представлений нильпотентных групп и алгебр Ли
является метод орбит, созданный А. А. Кирилловым в 1962 году. Коротко говоря,
он гласит, что неприводимые представления (для групп) и их аннуляторы в
универсальной обёртывающей алгебре (для алгебр Ли) находятся во взаимно
однозначном соответствии с орбитами коприсоединённого представления данной
алгебраической группы. Для унипотентных групп над конечными полями метод орбит
описывает обычные их конечномерные комплексные представления.
Увы, полная классификация орбит даже для группы унитреугольных матриц является
дикой задачей. С другой стороны, для максимальных унипотентных подгрупп в
группах Шевалле над конечными полями удаётся достаточно хорошо описать и
изучить различные важные классы орбит — больших и малых размерностей,
ассоциированных с расстановками ладей и др.
Гипотеза, сформулированная в 2007 году И. М. Айзексом, гласит, что над полем $
\mathbb{F}_q$ количество орбит данной размерности является многочленом от
$q-1$ с целыми неотрицательными коэффициентами. В последние годы было получено
множество результатов по поводу доказательства этой гипотезы в частных
случаях. Я расскажу об истории вопроса и сформулирую недавние результаты и
открытые вопросы.
