О структурной устойчивости и численной аппроксимации диффузионных задач p(x), p(u) и p[u]-лапласиановского типа.

Изучение задач типа $p(x)$-лапласиана получило интенсивное развитие в 2000–2010-х годах; это было, в частности, обусловлено моделированием электро- и термореологических неньютоновских жидкостей (Ружичка, …), а также новыми методами их математического анализа (школа Жикова, Дининг, финская школа, …). В настоящее время наблюдается академический интерес к «автореологическим» задачам типа $p(u)$-лапласиана (Антонцев, Шипо, …).
Численное исследование этих задач является сложным из-за функциональной постановки, которая зависит (сильнее, чем это обычно бывает в численном анализе) от параметра дискретизации. Эта сложность частично обусловлена феноменом Лаврентьева, обнаруженным Жиковым в 1980-х годах и до сих пор активно изучаемым (Алхутов, Балчи, Сурначев, школа Дининга, …).
Мы обсудим некоторые тонкости этих задач; в частности, будет представлена техника мер Янга (С. Мюллер, Хунгербюлер, …) для предельного перехода в последовательности точных или приближённых решений задач с переменным показателем— как естественная альтернатива классическому, но хитрому и технически сложному «приёму Минти». Также будет рассмотрена аппроксимация задач с переменным показателем с помощью конечно-объёмных схем с градиентной дискретизацией «по ромбам». Полученные нами результаты сопоставимы с результатами Балчи, Ортнера и Шторна, полученными в рамках метода конечных элементов. Доклад основан на совместных работах с Мостафой Бендахманом (Бордо, Франция) и Станисласом Уаро (Уагадугу, Буркина-Фасо) 2010 года, а также на недавней работе с Эль-Хуссейном Кенжелем (Ла-Рошель, Франция).