Алгебры сдвига инвариантов в $U\mathfrak{gl}_d$

Как известно, любому пуассонову многообразию можно сопоставить “деформационное квантование” — формальную деформацию умножения на пространстве гладких функций этого многообразия. Если при этом на многообразии задана интегрируемая система (под которой мы понимаем коммутативную в смысле скобки подалгебру в алгебре функций), возникает вопрос о возможности “поднять” эту систему до коммутативной подалгебры в деформированной алгебре. Полного ответа на этот вопрос в данный момент не известно, однако имеются многочисленные интересные примеры подобных конструкций. Мой доклад будет посвящен одному примеру такого рода: рассмотрим стандартную структуру Пуассона-Ли на двойственном пространстве алгебры Ли $\mathfrak{gl}_d$; в этом случае “деформационное квантование” можно ограничить на полиномиальные функции и получить алгебру, изоморфную универсальной обертывающей алгебре $U\mathfrak{gl}_d$, так что задача “поднятия” интегрируемых систем связана с поиском коммутативных подалгебр в $U\mathfrak{gl}_d$ и способов их построения. Я расскажу про важный частный случай — подалгебру “сдвига инвариантов” в $S\mathfrak{gl}_d$, — это подалгебра в $S\mathfrak{gl}_d$, порожденная итерированными производными центральных элементов $S\mathfrak{gl}_d$ по фиксированному направлению, — и о том, как ее можно “поднимать” в $U\mathfrak{gl}_d$. Вопрос о подъёме этой алгебры в универсальную обертывающую впервые был поставлен Винбергом в 1991 году. С тех пор были предложены разные ответы на него, основанные на рассмотрении образующих этой алгебры. Я же, прежде всего, расскажу о том, как можно построить эту алгебру при помощи некоторого оператора на $U\mathfrak{gl}_d$, — оператора “квазидифференцирования”, — имеющего несколько интересных интерпретаций.