Особенности Zp-инвариантных функций (Совместный семинар лаб. 1 и 4)

Один из наиболее известных результатов теории особенностей – классификация простых (т.е. не имеющих модулей) ростков аналитических функций, полученная В. И. Арнольдом в 1972 году (см. [1]). Оказалось, что простые особенности соответствуют диаграммам Дынкина без кратных рёбер (ADE-диаграммам), причем между простыми особенностями и другими объектами, имеющими ADE-классификацию (квадратичными формами, алгебрами Ли, особенностями Дю Валя), существует множество связей, до сих пор не до конца понятных, или даже совсем не понятных. Эквивариантно простые особенности – это не имеющие модулей ростки функций, инвариантные относительно действия конечной группы. В теории эквивариантно простых особенностей обнаруживаются дальнейшие связи с классификацией диаграмм Дынкина – так, Арнольдом же было обнаружено (см. [2]), что простые особенности Z2-инвариантных функций для некоторых представлений соответствуют диаграммам Дынкина с двойными рёбрами. Полученная сравнительно недавно полная классификация Z2 и Z3-инвариантных простых ростков показала наличие аналогичных связей ([3, 4]).
Классификация эквивариантно простых особенностей пока что остается сложной задачей, требующей кропотливых вычислений. В данном докладе будет рассказано о возникающих в связи с данной задачей вызовах и о эквивариантных аналогах стандартных объектов, возникающих в теории особенностей и дифференциальной топологии - эквивариантной эйлеровой характеристике, эквивариантных аналогах функций Морса (устойчивых особенностях), эквивариантном аналоге аддитивности индекса.
По возможности будут охарактеризованы действия группы простого порядка, для которых эквивариантные особенности существуют и вычислены топологические инварианты начальных эквивариантно простых особенностей.
[1] В. И. Арнольд, Нормальные формы функций вблизи вырожденных критических точек, группы Вейля Ak, Dk, Ek и лагранжевы особенностик, Функц. анализ и его прил., 6:4 (1972), 3—25.
[2] В. И. Арнольд, Критические точки функций на многообразии с краем, простые группы Ли Bk, Ck, F4 и особенности эволют, УМН, 33:5 (1978), 91—105.
[3] С. М. Гусейн-Заде, А.-М. Я. Раух, О простых Z2-инвариантных и угловых ростках функций, Матем. Заметки, 107:6 (2020), 855—864.
[4] С. М. Гусейн-Заде, А.-М. Я. Раух, О простых Z3-инвариантных ростках функций, Функц. анализ и его прил., 55:1 (2021), 56—64.