Критические конфигурации шарнирных многоугольников

На пространстве плоских конфигураций шарнирного многоугольника естественно рассмотреть функцию ориентированной площади как функцию Морса: ее критические точки и морсовы индексы поддаются простому описанию.
А именно, известно (Панина, Химшиашвили), что критическими конфигурациями функции ориентированной площади являются вписанные (в окружность) многоугольники. Имеется простая формула для индекса Морса вписанного многоугольника (Жукова, Панина).
В докладе мы расскажем об аналогичной конструкции для трехмерного пространства.
С одной стороны, в трехмерии имеются прямые аналогии с плоским случаем.
С другой стороны, для трехмерных конфигураций общая картина в некотором смысле выглядит красивее плоской. Так например, для конфигурационного пространства равностороннего $(2k+1)$-звенника ориентированная площадь является точной функцией Морса, и вписанные конфигурации можно интерпретировать как образующие гомологических групп конфигурационного пространства.