Замкнутые локально минимальные сети на поверхности выпуклых многогранников

Замкнутая локально минимальная сеть — это «разветвленное» обобщение замкнутой геодезической. Сетью мы называем геометрическую реализацию (абстрактного) графа. Локально минимальныминазываются те сети, которые нельзя укоротить деформацией в малой окрестности точки, даже если разрешить перестройки.
Эквивалентно, ({\it замкнутая локально{)} минимальная сеть} на выпуклом многограннике — это сеть, обладающая тремя свойствами: все ее ребра — геодезические; все ее вершины имеют степень $3$; углы между смежными ребрами равны $120^{\circ}$.
Несложно показать, что такая сеть может существовать только на многограннике, кривизны вершин которого в некотором смысле соизмеримы с $\frac{\pi}{3}$. Однако это условие на кривизны многогранника еще не гарантирует, что на нем существует минимальная сеть. Необходимые и достаточные условия существования минимальной сети автору не известны.
В докладе будут обсуждаться свойства минимальных сетей на многогранниках, примеры и препятствия к их существованию.