Поперечники Бернштейна и Колмогорова и внутренние объемы выпуклых тел

Совместная работа с З. Каблучко.
Пусть дано банахово пространство $X$. Обозначим $\mathcal A_n$ множество всех $n$-мерных афинных подпространств в $X$. Положим $B=\{x\in X\mid \|x\|\le1\}$. Для произвольного множества $K\subset X$ определим его поперечники Колмогорова и Бернштейна как
$$ d_n(K,X)=d_n(K)=\inf_{A_n\in\mathcal A_n}\{r\mid K\subset A_n+rB\} $$
и
$$ b_n(K,X)=b_n(K)=\sup_{A_{n+1}\in\mathcal A_{n+1}, x\in X}\{r\mid K\supset x+A_{n+1}\cap rB\}. $$

В 1992 г. Бетке и Хенк получили точную двустороннюю оценку объема выпуклого компакта в $\mathbf{R}^N$ в терминах его поперечников:
$$ \frac{2^N}{N!}b_0(K)\cdot\dots\cdot b_{N-1}(K)\le V_N(K)\le 2^N d_0(K)\cdot\dots\cdot d_{N-1}(K). $$

В 2008 г. Хенк и Цифре обобщили верхнюю оценку на все внутренние объемы $K$:
$$ V_n(K)\le 2^n s_n[d_0(K),\dots,d_{N-1}(K)],\quad n=0,\dots,N, $$
где $s_n$ обозначает $n$-ю элементарную симметрическую функцию:

$$ s_n[x_1,\dots,x_N]=\sum_{1\le i_1<\dots<j_n\le N}x_{i_1}\cdot\dots\cdot x_{j_n}. $$

Используя вероятностное представление Судакова-Цирельсона для внутренних объемов, мы получим аналогичное обобщение для нижней оценки:
$$ V_n(K)\ge C_{nN}{N\choose n}^{-1}s_n[b_0(K),\dots,b_{N-1}(K)],\quad n=0,\dots,N, $$
где $C_{nN}$ обозначает $n$-й внутренний объем $N$-мерного правильного кроссполитопа, для которого выписывается явная формула.