Об асимптотике времен достижения ограниченных множеств случайными блужданиями

Рассмотрим вероятность $p_n$ того, что первые $n$ шагов центрированного случайного блуждания не попадут в фиксированное ограниченное множество. Для целочисленных блужданий асимптотика $p_n$ была найдена Кестеном и Спитцером (1963), однако для общего случая их техника неприменима. Нами получена асимптотика $p_n$ для произвольных центрированных блужданий с конечной дисперсией, а также условная предельная теорема, описывающая поведение типичных траекторий. Изначальный интерес докладчика к поставленной задаче был вызван ее частным случаем, когда избегаемое множество является интервалом. Здесь из полученной асимптотики $p_n$ вытекает, что при рассматриваемых ограничениях размер наибольшей лакуны во множестве значений случайного блуждания имеет порядок константы.