Расстояние Хаусдорфа, его связь с двудольными графами и отношением Штейнера–Громова

Расстояние Хаусдорфа между компактными подмножествами метрического пространство $X$ равно наименьшей величине, на которую необходимо “раздуть” компакты, чтобы они поглотили друг друга. Тем самым, множество всех компактных подмножеств метрического пространства $X$ само является некоторым метрическим пространством $H(X)$. В докладе мы ограничимся компактными подмножествами пространства$\R^n$. Основное внимание будет уделено изучению кратчайших кривых в $H(\R^n)$, соединяющих данную пару компактов.
Многие свойства таких кривых хорошо известны. Например, для каждой пары компактов такие кривые существуют и в случае общего положения их бесконечно много. Кроме того, для каждого связного двудольного графа можно построить пару компактов, которые соединяются кратчайшими кривыми в количестве, равном числу реберных покрытий этого графа.
В качестве следствия из последнего факта мы покажем, что для каждого натурального числа от 1 до 1500, кроме 19, 37, 41 и 67, существуют пары компактов, количество кратчайших кривых между которыми равно этому числу. Для 19, 37, 41 и 67 таких пар компактов не существует.
Также будет рассказано про связь пространства компактов с минимальными заполнениями, введенными А.О.Ивановым и А.А.Тужилиным, а именно, мы покажем, что для любого конечного множества компактов в евклидовом пространстве с расстоянием Хаусдорфа его кратчайшая сеть совпадает с минимальным заполнением.