Аннотация:
Если оператор $K=(\cdot, u_1)v_1-(\cdot, u_2)v_2$ ранга 2 в пространстве
$L^2(\mu)$, где $\mu$ - сингулярная мера на окружности, представляется в
виде коммутатора $K=XU-UX$ некоторого ограниченного оператора $X$ с
оператором $U$ умножения на независимую переменную, то $\bar u_1 v_1=\bar
u_2 v_2$, и возникает естественный вопрос об описании класса функций вида
$f=\frac{v_1}{v_2}=\frac{\bar u_1}{\bar u_2}$, соответствующих
коммутаторам. В докладе будет показано, что этот класс не совпадает с
пространством $L^0(\mu)$. Изучение этого класса представляет интерес в
связи с вопросом о том, всегда ли стремятся к нулю последовательности
усреднённых разностей операторов вида $U_2^n X U_1^{-n}-U_2^{-n} X U_1^n$,
где $U_1, U_2$ - унитарные операторы с сингулярными спектральными мерами,
причём коммутатор $XU_1-U_2X$ предполагается малым. В настоящее время
положительный ответ известен только для случая коммутаторов ранга не выше
2.
|
