Задачи типа Сильвестра

Классическая теорема Сильвестра–Галлаи утверждает, что для любого конечного неколлинеарного набора точек на вещественной плоскости найдётся прямая, проходящая ровно через две точки данного набора.
В этой области возникает множество естественных вопросов: Как оценить число прямых, содержащих ровно две точки данного набора? Можно ли сформулировать аналогичные утверждения для окружностей, коник, алгебраических кривых старших порядков? Остаются ли эти утверждения справедливыми над полем комплексных чисел? Существуют ли многомерные обобщения?
На семинаре мы расскажем об истории задачи, дадим обзор известных результатов, сформулируем несколько нерешённых задач.
В заключение семинара мы построим контрпример к следующей гипотезе Алона–Ласта–Пинхаси–Шарира, сформулированной в 2001 году.
Для любого конечного числа попарно пересекающихся окружностей на плоскости, не принадлежащих одному пучку, найдётся точка пересечения, через которую проходит не более трёх данных окружностей.
Остаётся открытым вопрос, существуют ли другие контрпримеры.